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⑴

p ≤ q

n ≥ q + 1

Entre los métodos utilizados para el cálculo de la transformada Z inversa se encuentra el método de división directa , que en el caso racional nos permite determinar de forma numérica la transformada inversa.

La división directa no es solo un método puramente numérico, con un poco de esfuerzo, permite determinar expresiones para la transformada inversa como una ecuación de recurrencia y en su forma analítica.

Cociente recurrente

Dados dos polinomios P(x) y Q(x),

P(x) = a₀ + a₁ x + ... + a_p x^p

Q(x) = b₀ + b₁ x + ... + b_q x^q

Consideremos el cociente que se obtiene al dividir estos polinomios escritos en el orden creciente de x. Si el cociente no es exacto, puede ser prolongado indefinidamente,

H(x) = c₀ + c₁ x + ... + c_n xⁿ

La sucesión formada por los coeficientes del cociente es una sucesión recurrente.
Para demostrarlo, detengámos el proceso de división en un término n , tal que, n ≥ q + 1,

P(x) = Q(x) ∙ H(x) + R(x)

Donde R(x) , resto de la división, contiene únicamente potencias mayores que n, al ser p ≤ q , el coeficente de xⁿ en P(x) es cero y por lo tanto al ser en R(x) también cero, en el producto Q(x) ∙ H(x) ha de ser cero,

Q(x) ∙ H(x) = 0 ∙ xⁿ

( b₀ + b₁ x + ... + b_q x^q ) ∙ ( c₀ + c₁ x + ... + c_n xⁿ ) = 0 ∙ xⁿ

El coeficiente de xⁿ ,

b₀ c_n + b₁ c_{n - 1} + ... + b_q c_{n - q}

b₀ c_{n + q} + b₁ c_{n + q - 1} + ... + b_q c_n

La sucesión formada por los coeficientes del cociente es, por lo tanto, recurrente de orden q .

b₀ c_{n + q} + b₁ c_{n + q - 1} + ... + b_q c_n = 0

b₁ b_q
c_{n + q} = - ―― ∙ c_{n + q - 1} - ... - ―― ∙ c_n
b₀ b₀

Término general

El término general de la sucesión nos facilitará la transformada Z inversa del cociente de polinomios inicial.

⠀⠀⠀⠀ _\|/_
⠀⠀⠀⠀ (o  o)
----oOO-{_}-OOo---

Si en la ecuación recurrente introducimos una progresión geométrica, obtenemos una ecuación con los mismos coeficientes que la de la sucesión, que recibe el nombre de ecuación característica , de forma que las progresiones geométricas de razón las raíces de dicha ecuación satisfacen la recurrencia y por lo tanto son una base de la sucesión.

La sucesión original es combinación lineal de las progresiones así determinadas, los coeficientes implicados serán constantes en el caso de raices simples y polinomios de grado no superior a la multiplicidad de las mismas en otro caso.

Dada una sucesión recurrente u_n , con raíces α_n de multiplicidad m_n , podemos escribir,

u_n = P₁(x) α₁ + ... + P_n(x) α_n

Donde los polinomios P_n(x) lo son de grado no superior a las multiplicidades m_n .

sistema discreto

El término general de una sucesión recurrente es combinación lineal de las progresiones geométricas de razón las raíces de su ecuación característica.

La ecuación característica la obtenemos del denominador del cociente, función de transferencia, y como puede comprobarse sin dificultad, es satisfecha por las mismas raíces.

Los coeficientes, de la combinación lineal de las progresiones de las raíces, se determinan solucionando un sistema de q ecuaciones, grado del polinomio del denominador y orden de la recurrencia, que definimos con la misma cantidad de valores apropiados de la sucesión.

📋

Podemos definir el siguiente procedimiento para determinar la transformada Z inversa de una función racional,

Determinar las raíces del denominador del cociente de polinomios

Construir el término general de la sucesión recurrente relacionada

Con valores convenientes de la sucesión establecer los coeficientes del término general

Lo aquí expuesto facilita un método más para calcular la transformada Z inversa , en el caso de una función racional.
La recurrencia ⑴ permite la evaluación numérica de la transformada inversa.

Ejemplo de aplicación

Determinemos la transformada inversa de,

1
H(z) = ―――――――――――――――――
1 1
( 1 - ―― z^-1 )² ∙ ( 1 + ―― z^-1 )
2 4

Las raíces de la ecuación característica ,

1 1
z₁ = - ― z₂ = ―
4 2

z₂ de multiplicidad doble y z₁ raíz simple.

Término general,

h_n = A ∙ (- 1 / 4)ⁿ + ( B + C ∙ n) ∙ (1 / 2)ⁿ

Con tres términos de la sucesión, que podemos obtener por división directa, planteamos un sistema de ecuaciones que nos determinará los coeficientes del término general,

h₀ = 1, h₁ = 1 / 2, h₂ = 9 / 16

A = 1 / 9, B = 8 / 9, C = 2 / 3

Transformada inversa,

h_n = 1 / 9 ∙ (- 1 / 4)ⁿ + ( 8 / 9 + 2 / 3 ∙ n) ∙ (1 / 2)ⁿ

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⑴

p ≤ q

n ≥ q + 1

One of the techniques to evaluate the inverse Z transform is the long division numerical technique.

But long division is not only a numerical method, with a little extra effort we can get a recurrence relation and indeed the analytical expression of the inverse transform.

Recurrence relation

Consider a pair of polynomials P(x) y Q(x),

P(x) = a₀ + a₁ x + ... + a_p x^p

Q(x) = b₀ + b₁ x + ... + b_q x^q

Take the quotient on increasing powers of x,

H(x) = c₀ + c₁ x + ... + c_n xⁿ

The sequence of the quotient coefficients is a recurrence sequence.
Take the division process upto a term of order n , such that, n ≥ q + 1,

P(x) = Q(x) ∙ H(x) + R(x)

R(x) , division remainder, only on powers greater than n , p ≤ q implies that xⁿ at P(x) is zero and also at R(x) , as we know yet, then the coefficient at the product Q(x) ∙ H(x) should be zero,

Q(x) ∙ H(x) = 0 ∙ xⁿ

( b₀ + b₁ x + ... + b_q x^q ) ∙ ( c₀ + c₁ x + ... + c_n xⁿ ) = 0 ∙ xⁿ

xⁿ coefficient,

b₀ c_n + b₁ c_{n - 1} + ... + b_q c_{n - q}

b₀ c_{n + q} + b₁ c_{n + q - 1} + ... + b_q c_n

Whence the sequence of the quotient coefficients is a recurrence sequence of order q .

b₀ c_{n + q} + b₁ c_{n + q - 1} + ... + b_q c_n = 0

b₁ b_q
c_{n + q} = - ―― ∙ c_{n + q - 1} - ... - ―― ∙ c_n
b₀ b₀

General term

The general term of the sequence is the inverse Z transform of the quotient of polynomials.

⠀⠀⠀⠀ _\|/_
⠀⠀⠀⠀ (o  o)
----oOO-{_}-OOo---

A geometric sequence satisfies the recurrence relation if the ratio is root of an equation with the same coefficients as the recurrence equation, this equation is named as the characteristic equation .

The sequence is a linear combination of the geometric progressions that satisfy the characteristic equation , as coefficients we have simple constants or polynomials of degree not superior to the multiplicities of the roots.

Given a recurrence sequence u_n , with roots α_n of multiplicity m_n ,

u_n = P₁(x) α₁ + ... + P_n(x) α_n

Polynomials P_n(x) of degree not superior to multiplicities m_n .

discrete system

The general term of a recurrence sequence is a linear combination of the geometric sequences with ratios the roots of its characteristic equation.

A characteristic equation is defined by the denominator of the quotient, transfer function, both with the same roots.

The coefficients of the linear combinations are determined by means of suitable values of the sequence on a system of linear equations of q equations as the order of the recurrence relation.

📋

As a resume, we could define the following steps, in order to evaluate the inverse Z transform of a rational function,

Solve the denominator polynomial, characteristic equation, and get the ratios of some geometric progressions as its roots

Build the sequence's general term

Solve for the coefficients using suitable sequence's values

We have now another technique to evaluate the inverse Z transform .
The recurrence relation ⑴ allows for the numerical evaluation of the inverse transform.

An example

Find the inverse transform of,

1
H(z) = ―――――――――――――――――
1 1
( 1 - ―― z^-1 )² ∙ ( 1 + ―― z^-1 )
2 4

Roots of characteristic equation ,

1 1
z₁ = - ― z₂ = ―
4 2

z₂ of multiplicity 2 and z₁ a simple root.

General term,

h_n = A ∙ (- 1 / 4)ⁿ + ( B + C ∙ n) ∙ (1 / 2)ⁿ

Three terms of the sequence known, long división could be used, build a system of equations solving for the coefficients,

h₀ = 1, h₁ = 1 / 2, h₂ = 9 / 16

A = 1 / 9, B = 8 / 9, C = 2 / 3

Finally, the inverse transform,

h_n = 1 / 9 ∙ (- 1 / 4)ⁿ + ( 8 / 9 + 2 / 3 ∙ n) ∙ (1 / 2)ⁿ

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Media

Immanuel Giel, Public domain, via Wikimedia Commons