Métodos de Solución de: 
Aquí describiremos algunos métodos métodos para hallar las curvas integrales de un campo vectorial dado, sobre un dominio del espacio euclidiano, la manera de hacerlo, será describiendo el método y mostrando ejemplos puntuales para ello. Ahora bien, supongamos que tenemos un campo vectorial
para el cual resolveremos el sistema de ecuaciones asociado siguiente:
asumiremos que el campo vectorial dado no es un campo vectorial nulo y además es de clase C1, es decir, es continuamente diferenciable al menos una vez sobre el dominio donde esta definido el campo vectorial, esto debido a que las curvas integrales del campo vectorial y las curvas solución del sistema dado en (1) son las mismas, con una adecuada parametrización, como ya lo describimos en la publicación anterior (Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales | Lección #2) la colección de curvas solución de (1) sobre el dominio del campo vectorial dado, están dadas por:
donde u y v son las dos integrales primeras de (1) que por definición son funcionalmente independientes en el dominio del campo vectorial dado. Por tal razón, las ecuaciones dadas en (2), nos referimos a ellas como la solución general del sistema (1).
En muchos casos, es posible hallar las soluciones de la ecuación dada a continuación
usando una simple inspección o incluso intuición. Sin embrago, en general es muy difícil, y en muchísimos casos imposible de realizarlo.
Desde un punto de vista práctico, la idea principal es hallar las funciones dadas en (2) que son una consecuencia directa de resolver las ecuaciones diferenciales que se desprenden de la ecuación descrita en (1). Ahora bien, se nos presenta una dificultad, que aún no hemos descrito, con las ecuaciones que se pueden obtener a partir de (1), la misma, se debe a que de manera general, cada ecuación que podemos establecer a partir de está, depende de 3 variables, o más, en caso de funciones no tan simples, a saber, x, y, z. Cuando alguna de estas variables no esta presente, en algunas de las ecuaciones, entonces dicha ecuación se transformaría en ecuación diferencial ordinaria, de dos variables, la cuál podríamos resolver por el método de variables separables (el lector puede consultar dicho método en una de mis publicaciones anteriores, a saber: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias | Lección #2).
Supongamos por un momento que P y Q son funciones de dos variables x e y solamente. Por lo tanto, la ecuación diferencial que se obtiene es de la forma siguiente:
es una ecuación diferencial ordinaria, donde sin perdida de generalidad podemos considerar a cualquiera de las dos como la variable independiente. Cuando resolvemos esta ecuación, podemos encontrar la solución general de esta, la cual es de la forma
entonces la función u es una integral primera de la ecuación (1).
Sea el sistema de ecuaciones dado por
luego, si tomamos la primera igualdad de dicha ecuación, es decir,
y resolvemos la ecuación diferencial ordinaria, usando el métodos de variables separables (para su solución ver Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias | Lección #2), obtenemos
por lo tanto, la función u(x,y) es una integral primera de (4) ya que satisface la ecuación diferencial parcial
Luego, si por ejemplo tomamos la segunda igualdad dada en (4) (al igual podemos tomar la ecuación formada por el primer término y último término de (4)) y usamos la expresión obtenido para u con la idea de eliminar la variable x que se encuentra en la ecuación, es decir, usaremos lo siguiente:
luego al sustituir, obtenemos
así, la ecuación diferencial ordinaria obtenida, la podemos resolver al igual de la anterior, usando el método de variables separables, obteniendo la siguiente ecuación:
ahora, sustituyendo el valor de la constante c1 dada por:
por lo tanto, obtenemos
por lo tanto, al operar apropiadamente con la ecuación, nos queda la siguiente ecuación:
Ahora bien, es muy fácil chequear que la función dada por:
la cual, es una integral primera de (4) ya que satisface la ecuación diferencial parcial dada en (5). Luego,
los cuales, nunca son paralelos, es decir, el producto cruz entre estos vectores es distintos de cero. Así, tenemso que u y v son funcionalmente independiente y estas funciones describen las curvas que son solución de (4) en el dominio x>0 y x<0.
Sea el siguiente sistema de ecuaciones, dado por:
Ahora, si elegimos la segunda igualdad del sistema de ecuaciones anterior, es decir, tomamos
por lo tanto, simplificando la variable x, tenemos una ecuación diferencial ordinaria, en las variables y, z, como sigue:
De esta manera, agrupando apropiadamente las variables y aplicando el método de variables separables a la EDO obtenida anteriormente, obtenemos lo siguiente:
Luego, la función
es una integral primera de (6) la cual satisface la ecuación diferencial parcial:
Como necesitamos hallar otra integral primera de (6), usaremos la ecuación dada en (8) con la idea de eliminar la varaible y de la primera igualdad del sistema dado, de la siguiente manera:
ahora bien, usando el método de separación de variables, e integrando usando el método de fracciones parciales se tiene:
debido a que
esto motivado a que
Adicionalmente, tenemos
de esta manera, tenemos entonces:
Definamos ahora la función
la cual es una integral primera de (6) ya que satisface la Ecuación Diferencial Parcial siguiente:
Consideremos ahora el caso más difícil en el cual ninguna de las ecuaciones dadas en el sistema de ecuaciones de (1) es una ecuación diferencial ordinaria de solamente de dos variables. En este caso trataremos de introducir nuevas variables y deducirse del sistema dado en (1) una nueva ecuación diferencial que envuelva solo dos de esas nuevas variables. Con la intención de comprender el procedimiento recordemos la forma paramétrica de (1), dada por
Sean tres constantes cualesquiera, a saber:
entonces como consecuencia de la ecuación dada en (8) tenemos la ecuación:
Luego, la forma no paramétrica de las ecuaciones dadas en (8) y (9) viene dado por:
Ya que las constantes son arbitrarias, el sistema de ecuaciones dado en (10) realmente representa una colección infinita de ecuaciones las cuales son todas consecuencias del sistema de ecuaciones originales (1). Sin perdida de generalidad, supongamos que:
tenemos entonces lo siguiente:
Es de hacer notar, que podemos sumar o restar numeradores y denominadores en las razones (relaciones) dadas en (1) y la nueva relación resultante es también equivalente a las originales.
Supongamos, que podemos encontrar constantes
de tal manera que la ecuación
es una ecuación diferencial ordinaria, que envuelve solo a las nuevas variables
de esta manera, podemos hallar la solución general de esta ecuación
Así, la función definida por
sería una integral primera de (1).
Sea el sistema de ecuaciones dado por
así, sumando los denominadores y numeradores de las ecuaciones (1) y (3), y luego al igual con (2) nos queda
entonces tomemos X=x+z, por lo tanto, tenemos lo siguiente:
donde la solución general ya la conocemos, y está es:
sustituyendo X tenemos:
es una solución y la función
es una integral primera de (11) ya que esta satisface la ecuación diferencial parcial dada por:
ahora, restando los numeradores y denominadores (2) y (1)y posteriormente igualando al término (3) del sistema (11), obtenemos:
La ecuación obtenida anteriormente es una ecuación diferencial ordinaria en las variables nuevas Y=x-y y z. Luego, su solución general viene dada por:
La función
es una integral primera de (11), ya que satisface la EDP (12). Verifiquemos que u y v son funcionalmente independientes:
es siempre distinto de cero, si x-y+z es distinto de cero, por lo tanto u y v son funcionalmente independientes si x-y+z es distinto de cero, y distinto de cero, por ejemplo x-y+z>0 con y>0.
Consideremos ahora la posibilidad de que los multiplicadores
sean funciones de tres variables x, y, z. En este caso la ecuación (9) no es una consecuencia de las ecuaciones dadas en (8) y pudiera ser no correcto. Supongamos, sin embargo, que podemos encontrar funciones
y una función X(x,y,z) tal que tenemos
Luego, como una consecuencia de las ecuaciones dadas en (8) tenemos la ecuación siguiente:
La forma no paramétrica de las ecuaciones (8) y (13) es la ecuación dada por:
Si una de las ecuaciones dadas en (14) envuelve solamente dos de las variables x, y, z y X entonces podemos proceder a resolverla como una ecuación diferencial ordinaria.
Sea el siguiente sistema de ecuaciones dado por:
Sabemos que
entonces
por lo tanto, u(x,y,z)=x+y+z es una integral primera de (15). Similarmente tenemos:
entonces
de esta manera, v(x,y,z)=xyz es también una integral primera de (15).
Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido en esta 3era Lección de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, de igual manera los invito para la tercera Lección de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante y de mucha aplicación. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.
Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:
- Lang, Serge. Calculus of Several Variables. Springer Science & Business Media, 2012.
- Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Courier Corporation, 2012.
- Dennemeyer, Rene. Introduction to Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. 1968.
- Pinchover, Yehuda, and Jacob Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2005.
También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, que estoy seguro serán de su interés:
| Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales - Lección #1 | Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales - Lección #2 |
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