La Solución General de la Ecuación 
En esta ocasión, mostraremos como determinar la solución general de la ecuación, es decir, determinaremos la colección o la familia de todas las funciones que son solución de la ecuación diferencial parcial siguiente:
en algún dominio, que es un subconjunto del espacio euclidiano, también suponemos que las funciones P(x,y,z), Q(x,y,z), y R(x,y,z) son de clase C1 sobre el mismo subconjunto y que ellas no se anulan simultáneamente en algún punto del dominio.
Con el fin de formalizar lo que anteriormente hemos dicho, enunciemos los dos teoremas siguientes:
El teorema anterior, lo que establece es una relación entre dos funciones que son solución de la ecuación dada por (1) y cualquier composición con una función que por lo menos sea continuamente diferenciable una vez, que también sería solución de la misma ecuación dada en (1).
En resumen los dos teroemas anteriores lo que nos tratan de decir, es que la solución general de la ecuación dada en (1) se puede siempre expresar de la forma siguiente:
donde u y v son dos soluciones fijas de la ecuación general mostrada en (1), las cuales son funcionalmente independientes y la función F es una función de clase C1 arbitraria de dos variables.
Ejemplo
Consideremos la Ecuación Diferencial Parcial siguiente:
sobre el subconjunto de R3 que satisface que x>0.
Sobre este dominio, las funciones u y v dadas a continuación
son soluciones funcionalmente independientes de ecuación diferencial parcial dada. Entonces la solución general de la ecuación es
donde F es cualquier función de clase C1 de dos variables.
Ecuaciones Cuasi-lineales
Sea la ecuación diferencial parcial cuasi-lineal dada por:
donde las funciones P(x,y,z), Q(x,y,z) y R(x,y,z) son funciones de clase C1 sobre su dominio, a saber
las cuales no se anulan de manera simultanea para todo punto sobre este dominio.
Ahora bien, una solución dada por:
de la ecuación mostrada en (2), la cual puede considerarse como una superficie en R3 y por ende recibe el nombre de Superficie Solución de (2). Notemos que el vector normal a esa superficie es
la cual es ortogonal al campo vectorial dado por
Si consideramos la siguiente función dada por:
decimos que w(x,y,z) es una solución de la Ecuación Diferencial Parcial siguiente:
luego, podemos notar que:
entonces tenemos lo que sigue:
Ahora enunciemos el siguiente lema, con el cual podremos obtener la solución de la Ecuación Cuasi-lineal, también mostraremos una demostración del mismo a continuación.
Demostración:
Usando el teorema de la función implícita, tenemos:
así, diferenciando con respecto a x obtenemos
luego, diferenciando con respecto a y tenemos:
por lo tanto, nos queda que:
El teorema anterior nos da las herramientas para construir la solución de la Ecuación Diferencial Parcial Cuasi-lineal.
Ahora definiremos lo que llamaremos una Integral General de la manera siguiente:
En la práctica, las funciones u y v usadas en la Integral General F(u,v)=0, se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones asociado
Ejemplo 1:
Encontremos la integral general de la siguiente ecuación diferencial parcial cuasi-lineal
así, el sistema asociado de ecuaciones esta dado por
luego, si tomamos la primera igualdad del sistema anterior y resolvemos obtenemos lo siguiente:
Ahora, tomando la segunda igualdad y la resolvemos tenemos:
y podemos escoger
las cuales son dos soluciones funcionalmente independientes de la ecuación diferencial parcial dada por:
Por lo tanto, la integral general de
esta dada por la función siguiente:
donde F es una función de clase C1 sobre el plano R2, la cual es arbitraria de dos variables. Si definimos a la función F como sigue:
de esta manera obtenemos,
la cual es una solución de la ecuación
Si ahora definimos a la función F de la forma siguiente tenemos:
entonces obtenemos,
la cual es una solución de
definida en uno de los siguientes dominios y>0 ó y<0.
Ejemplo 2:
Encontremos la integral general y una solución de la ecuación diferencial parcial cuasi-lineal dada por:
Sea el sistema asociado dado por
donde este es el problema equivalente para
y que podemos esribir como
Si tomamos la primera igualdad del sistema asociado y lo resolvemos, obtenemos lo siguiente:
Procediendo de manera analoga para la segunda igualdad del sistema asociado tenemos
ya que
entonces
Entonces, la integral general que estamos buscando esta dada por la siguiente ecuación
Una solución general sería por ejemplo:
sería una solución, esta es válida para
Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido en esta 4ta Lección de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, de igual manera los invito para la 5ta Lección de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante y de mucha aplicación. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.
Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:
- Lang, Serge. Calculus of Several Variables. Springer Science & Business Media, 2012.
- Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Courier Corporation, 2012.
- Dennemeyer, Rene. Introduction to Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. 1968.
- Pinchover, Yehuda, and Jacob Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2005.
También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, que estoy seguro serán de su interés:
| Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales - Lección #1 | Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales - Lección #2 |
|---|---|
| Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales - Lección #3 |
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