El Problema de Valor Inicial para Ecuaciones Cuasi-lineales de 1er Orden.
Cuando en matemática hablamos de un problema de valor inicial, nos estamos refiriendo en el área de las ecuaciones diferenciales, a una ecuación algebraica de términos que son derivadas de una función desconocida, junto a un valor especifico en algún instante o punto del dominio físico donde esta descrito el modelo. Es común, conseguir en la literatura como algunos autores lo denominan como el problema de Cauchy. Aquí trataremos los casos cuando podemos establecer la existencia y unicidad de la solución, así como la no existencia o unicidad de la solución del problema de valor inicial.
1.- Existencia y unicidad de la solución
Empezaremos discutiendo el problema del valor inicial, o problema de Cauchy, para la ecuación diferencial parcial lineal de 1er orden cuasi-lineal siguiente:
Si recordamos un poco un problema del valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria de 1er orden requiere una solución de la ecuación que tiene un valor dado en un punto específico. Es por ello que en el caso del problema del valor inicial para una ecuación diferencial parcial como la anterior es necesario que la solución tenga unos valores dados sobre una curva en R2. Más precisamente, podemos enunciarlo de la siguiente manera.
Problema de valor inicial
Sea r una curva definida en R2, la que podemos escribir de forma paramétrica por las ecuaciones dadas a continuación:
donde
son funciones de clase C1 sobre el subconjunto I de R. Sea entonces z0(t) una función dada de clase C1 sobre el subconjunto I, a esta función se le puede pensar como una función que se define sobre la curva r.
Ahora bien, el problema de valor inicial para la ecuación diferencial parcial cuasi-lineal dada por:
necesita de una función z=z(x,y) definida en un domino que es un subconjunto de R2, el cual contiene a la curva r tal que que satisface las dos siguientes condiciones:
- z=z(x,y) es una solución de (2) sobre el dominio de z.
- Sobre la curva r, la función z es igual a la función dada z0, es decir,
Es preciso mencionar que a la curva r se le conoce como la curva inicial del problema, a la función z0 se le denomina como el dato inicial y a la ecuación dada en (2) la llamaremos la condición inicial del problema.
Para ilustrar e interpretar lo que acabamos de mencionar, vamos a ilustrarlo con la siguiente figura:
Imagen elaborada con Inkscape, por @abdulmath.
Así, podemos enunciar el siguiente teorema:
Geométricamente, (4) significa que la proyección del vector
sobre el plano XY el cual no es tangente a la curva inicial r en el punto (x0, y0).
Para determinar un método de construcción de la solución para el problema del valor inicial, sencillamente consiste en mostrar que la condición inicial dada en una curva s en R3 y construir, mediante los métodos que detallamos en la Lección #4, la superficie integral del campo vectorial
que contiene la curva s. La condición (4) del teorema 1 garantiza que podemos resolver la ecuación w(x,y,z) de la superficie integral para z en términos de x e y en un entorno del el punto (x0, y0). El tamaño del entorno depende de la ecuación diferencial, en la curva inicial r y el valor inicial z0. Ilustraremos el método con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1:
Consideremos la ecuación diferencial parcial de 1er orden cuasi-lineal dada por:
Sea la curva inicial r la cual esta dada por y=1, sobre todos los reales. Encontremos la solución de la forma z=z(x,y) de la ecuación dada en (5) tal que sobre la curva inicial r tiene los valores z=1+x.
La curva inicial la podemos expresar en la forma paramétrica, por
y sobre la curva r, el campo vectorial y la solución toman los valores
y sobre la curva s, la cual es la curva parametrizada de la curva r, tenemos:
con lo que se satisface la condición (4) del Teorema 1, para punto sobre la curva s. Entonces por el Teorema 1, se sabe que existe una solución única al problema en un entorno de cada punto de la curva r.
Ya hemos mostrado que la ecuación diferencial parcial cuasi-lineal tiene solución, ahora vamos a encontrar esa solución. Como sabemos el campo vectorial esta dado por:
y su sistema asociado de ecuaciones es
Este sistema lo resolvimos en la Lección #4, y determinamos que las dos integrales primeras vienen dadas por:
Estas integrales primeras están bien definidas y son funcionalmente independientes en el dominio y>0 el cual contiene a la curva s. Para encontrar la superficie integral del campo vectorial que contiene la curva s, calculamos
y eliminando a la variable t, obtenemos
Por lo tanto la superficie integral que buscamos es
Esta ecuación tiene dos soluciones, a saber
Luego, usando la condición inicial
obtenemos
solo z1=1+x satisface la condición inicial, entonces
es la solución del problema de valor inicial para y>0.
Ejemplo 2:
Consideremos la ecuación diferencial parcial de 1er orden cuasi-lineal dada por:
La parametrización de la curva r viene dada por:
el campo vectorial asociado el problema es
por lo tanto se satisface la condición (4), como vemos a continuación
Luego, debemos encontrar la superficie integral, el sistema asociado al campo vectorial dado es:
si tomamos la primera igualdad, es decir,
obtenemos,
Si tomamos ahora la segunda igualdad, es decir,
obtenemos,
Calculemos ahora la superficie integral, como sigue:
es la solución del problema de valor inicial dado. Si verificamos la condición inicial tenemos:
Como aplicación del Teorema 1, es el siguiente caso del problema de valor inicial especial dado por:
donde f(x) es una función de una variable real. Es fácil chequear que este problema satisface la condición (4) en cualquier punto de la curva inicial dada, que es este caso es todo el eje X. Entonces por el Teorema 1, podemos enunciar el siguiente resultado de existencia y unicidad.
2.- No existencia y no unicidad de la solución
¿Qué sucede si
es igual a cero?
En este caso, usualmente no existe solución al problema de valor inicial, y cuando existe una solución, en realidad existen infinitas soluciones al problema de valor inicial.
Asumimos que P(x,y,z) y Q(x,y,z) no se anulan simultáneamente, entonces podemos escribir
donde µ es una constante de proporcionalidad. Sin embargo, en general se tiene
Luego, sabemos que, de la condición inicial, en el punto (x0, y0) la derivada de la
solución a lo largo de la curva inicial r debe se igual a
entonces
de esta manera si tenemos
entonces no puede haber una solución del problema de valor inicial. Por lo tanto, podemos enunciar el siguiente teorema:
Supongamos ahora que
entonces
Si (8) se satisface en cada punto de s (o al menos en cada punto de s cerca de (x0, y0, z0), entonces
Lo podemos resumir en el siguiente teorema:
Ejemplo 3:
Consideremos el siguiente problema de Cauchy, dado por:
La curva r la podemos paramétrizar, de la siguiente forma
Los campos vectoriales asociados son:
por lo tanto el problema de valor inicial dado tiene infinitas soluciones.
Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido en esta 5ta Lección de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, de igual manera los invito para la 6ta Lección de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante y de mucha aplicación. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.
Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:
- Lang, Serge. Calculus of Several Variables. Springer Science & Business Media, 2012.
- Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Courier Corporation, 2012.
- Dennemeyer, Rene. Introduction to Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. 1968.
- Pinchover, Yehuda, and Jacob Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2005.
También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, que estoy seguro serán de su interés:
Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por abdulmath usando software libre, 
, GIMP e Inkscape.
Imagen diseñada con GIMP y elaborada por @abdulmath.