El Problema de Valor Inicial para Leyes de Conservación.
Primero que nada, aclaremos un poco lo que son las leyes de conservación, estas hace referencias a postulados físicos que muestran propiedades o relaciones importantes de algunos procesos naturales, donde los mismos evolucionan de manera temporal en un sistema aislado, donde algunas cantidades o magnitudes permanecen constantes. Ahora bien, podemos decir que el universo forma un sistema aislado, entonces se le pueden aplicar muchas leyes de conservación. Por ejemplo, si dado un sistema este no interactúa con su entorno de ninguna forma, entonces algunas propiedades mecánicas del sistema suelen no cambiar, es común hablar de dichas propiedades como constantes de movimiento, estas cantidades que no cambian, se dice que están conservadas, dentro de estas podemos mencionar cantidades como la energía, el momento, entre otras. En pocas palabras, podemos decir que las leyes de conservación son cantidades exactas dentro de un sistema aislado.
Así, podemos mencionar algunas de las Las leyes de conservación más importantes de la física clásica como lo son: la Ley conservación del momento lineal, la Ley de conservación de la carga eléctrica, la Ley de conservación de la masa, y la Ley de conservación de la energía, entre otras.
Ahora bien, estas leyes de conservación se pueden describir usando ecuaciones diferenciales parciales cuasi-lineales, las cuales surgen en muchas aplicaciones físicas.
Entonces, consideremos el siguiente problema problema de valor inicial, para una ley de conservación,
donde a y f son funciones de clase C1 dadas.
Usando el Corolario que vimos en la Lección anterior (Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales | Lección #5), el cual nos hace referencia a que el problema dado en (1) tiene una solución única en algún entorno de cada punto de la línea inicial y = 0. Encontremoa la solución al sistema siguiente:
Si tomamos la segunda igualdad del sistema anteriore, es decir,
obtenemos
Si en cambio ahora tomamos la primero igualdad del sistema, es decir,
obtenemos
Por lo tanto, una integral general de (1) sería
Si usamos la condición inicial dada en (1), dada por z(x,0) = f(x), tenemos
por lo tanto, se tiene que
para el valor absoluto de y, es decir, |y|, suficientemente pequeño, es la solución del problema de valor inicial definida de forma implícita.
Así que si usamos el teorema de la función implícita, la solución del problema de valor inicial dado por:
donde a y f son funciones de clases C1 dadas, existe y esta implícitamente definida por
siempre que la condición siguiente
se satisfaga.
Notemos que la ecuación dada en (3) siempre se satisface si |y| es suficientemente pequeño. Si zx y zy tienden a infinito cuando
Así, cuando la ecuación anterior es igual a cero, la solución desarrolla una discontinuidad conocida como un choque. El desarrollo de choques es un fenómeno bien conocido en la dinámica de gases.
Ahora bien, tenemos la necesidad de generalizar la noción de una solución del problema de valor inicial y poder admitir funciones discontinuas, o soluciones débiles. Es necesario exponer cierta condición para que se satisfaga a través de una discontinuidad.
Por ello, consideremos un punto fijo, digamos x0 del eje X y sea z0 = f(x0) entonces el conjunto de puntos (x,y,z) que satisfacen el par de ecuaciones siguientes:
las cuales también satisfacen la ecuación dada en (2). Esto significa que la recta en el espacio (x,y,z) definida por las ecuaciones dadas en (4) está sobre la superficie definida por la ecuación (2). Así, que a lo largo de la línea
en el plano (x,y) que pasa por el punto (x0,0), la solución z del problema de valor inicial dada en (1), es constante e igual a z0 = f(x).
En el contexto de los problemas físicos, la variable y representa a el tiempo y usualmente queremos saber cómo se comporta la solución despues del instante inicial y = 0. Para ilustrar esto veamos la figura siguiente:
Imagen elaborada con Inkscape por @abdulmath.
Si no existen dos líneas de la forma dada en (5) que se intercepten en el medio plano y > 0, entonces decimos que la solución existe y es diferenciable para todo valor de y > 0.
Sin embargo, si existen dos líneas de la forma dada en (5) que se intercepten cuando el valor de y>0, entonces en el plano de intersección tenemos una incompatibilidad, la solución toma dos valores distintos en un mismo punto lo cual es una contradicción.
Entonces a la línea de la forma dada en la ecuación (5) se le conoce en la literatura como línea característica o simplemente, característica del problema de valor inicial planteado en (1).
Podemos suponer ahora que x1 y x2 son dos puntos sobre la línea inicial y = 0, sean z1 = f(x1), z2 = f(x2) y supongamos también que a(z1) > a(z2). Entonces, las lineas
se interceptan en el punto (x0, y0), donde
Esto lo podemos ilustrar en la siguiente gráfica:
Imagen elaborada en Inkscape por @abdulmath.
En el punto (x0, y0) tenemos una incompatibilidad, pues la solución z está tomando dos valores distintos z1 y z2 en el mismo punto, por lo tanto la solución no puede existir como función diferenciables para valores de y mayores que un valor fijo y0 y decimos que se ha desarrollado un choque.
Aplicaciones a problemas de flujo de tráfico
Ejemplo 1:
Consideremos el siguiente problema de flujo de tráfico, dado por
entonces
Otra forma de hallar su solución es, sea el sistema asociado de ecuaciones dado por
Si tomamos la segunda igualdad del sistema de ecuaciones, es decir, si tomamos
obtenemos
Si ahora tomamos la primera igualdad, es decir,
obtenemos
Entonces, la curva inicial
cuya parametrización es
de esta manera
lo que implica que
Claramente, la solución no está definida para t = 1 y un choque se desarrolla para t = 1.
En el punto x0, z = z0 = -x0 y la solución es constante e igual a -x0 a todo lo largo de la línea característica
que pasa por el punto (x0,0), lo cual implica lo siguiente
así, todas las rectas x+x0t=x0 pasan por el punto (0,1). Todo esto lo podemos ilustrar con la figura siguiente:
Imagen elaborada con Inkscape por @abdulmath.
Aplicaciones a Problemas en Movimiento de Tráfico
Una de las leyes de conservación nos afirma que el cambio en la cantidad total de una entidad física contenida en cualquier región de espacio se debe al flujo (la masa que atraviesa la región en una unidad de tiempo) de tal entidad a través de la frontera de dicha región.
Consideremos una ley de conservación que surge en el estudio del movimiento del tráfico a lo largo de una autopista. El modelo del movimiento del tráfico que discutiremos está basado sobre la suposición de que el movimiento de carros individuales puede ser considerado análogo al movimiento de un fluido continuo. Tomamos el eje X a lo largo de la autopista y asumimos que el tráfico se mueve (flujo) en dirección positiva.
De esta manera, denotemos por:
a la densidad (carros por unidad de longitud) del tráfico en el punto x de la autopista en el tiempo t y también denotemos por
la razón (carros por unidad de tiempo) a la cual los carros (fluyen) se mueven al pasar el punto x en el tiempo t, si derivamos una relación entre entre estos dos valores, bajo las suposiciones de que los carros no entran ni salen de la autopista en ninguno de sus puntos y, estas son funciones de clase C1 de x y t.
Sea [x1, x2] un segmento de recta no degenerado, es decir, x1 < x2 que podemos asociar con cualquier segmento de la autopista. El número total de carros en este segmento esta dado por
y la razón de cambio en el tiempo del número de carros en el segmento de autopista esta dado por
esta razón de cambio también debe ser igual a
cuya ecuación mide la razón, en función del tiempo, de carros que entran al segmento en x1 menos la razón , en función del tiempo, de carros que salen del segmento en x2, Por lo tanto, tenemos
Así, como el integrando
es una función continua y ya que la ecuación dada en (6) se satisface para todo intervalo [x1, x2], entonces
luego, por las suposiciones teóricas y datos experimentales, la razón del movimiento de los carros q depende de x y t solo a través de la densidad del tráfico; as'i,
para alguna función G. Lo que asumimos parece ser razonable ya que la densidad de vehículos alrededor de un vehículo dado de por sí controla la velocidad de tal vehículo. La relación entre estos dos factores depende de muchos elementos, tales como características de la vía, condiciones del tiempo, velocidad permitidas, entres otros elementos que se nos puedan ocurrir.
Ahora bien, la relación
es sugerida por datos experimentales y es la relación que usaremos, donde rho 1 es la densidad de carros máxima de la vía (carros por unidad de longitud cuando el tráfico está parachoque a parachoque), c es la velocidad libre media; es decir, el promedio de las velocidades libres de los carros en la autopista (la velocidad libre de un carro es la velocidad a la cual viaja el carro cuando ningún otro carro la interfiere). Normalmente, c es aproximadamente igual a la velocidad límite (máxima permitida) de la autopista. De acuerdo a la relación dada en (7), tenemos
Sustituyendo (8) en (7), obtenemos
Luego, dividiendo por
e introduciendo la nueva variable
de densidad normalizada, obtenemos
esta ecuación es un ejemplo de una ley de conservación, si la densidad normalizada inicial está dada por
entonces la solución del problema de valor inicial (9) y (10) está definida implícitamente, para t suficientemente pequeña, dado por la ecuación
así, si f es una función de clase C1, la solución existe como una función de clase C1 y está definida implícitamente por (11) siempre y cuando la condición dada por
se satisfaga.
Si esta condición falla, se desarrollan choques en el sentido de que las derivadas de la densidad de carros viene a ser infinita y la densidad desarrolla una discontinuidad. Si
entonces la condición (12) se satisface para todo valor de t mayor o igual a cero. Así, si la densidad de carros inicial es constante o decreciente en la dirección del movimiento del tráfico, ningún choque se desarrollará y el tráfico continúa fluyendo (moviéndose) suavemente. Sin embargo, si la densidad de carros inicial es creciente en cualquier punto de la autopista, un choque se desarrolla eventualmente.
Ejemplo 2:
Sea f(x) la densidad de carros inicial definida por la función siguiente:
Observación: La derivada de esta función tiene un salto en x = 0 y x = 1. Estrictamente hablando, nuestra teoría no se puede aplicar ya que requerimos que f(x) sea una función de clase C1 para todo valor de x. Por supuesto, podríamos suavizar f(x) cesca de x = 0 y x = 1. Sin embargo, esto traería consigo muchas dificultades en el cálculo de la solución del problema. Afortunadamente, el único efecto de un salto en la derivada de los datos iniciales es un salto en la derivada de la solución cruzando una linea en el plano xt.
La solución permanece definida implícitamente por la ecuación (11), para valores de t suficientemente pequeños. Para
Análogamente, para
Ya que estas dos líneas
se interceptan, entonces aparece un choque en el plano (x,ct). Busquemos el punto donde se forma el choque
Así, sobre la línea característica ct = 3x, la solución es d=1/3 y sobre la línea característica ct = -2(x-1), la solución es d=3/4. La siguiente figura lo ilustra:
Imagen elaborada en Inkscape por @abdulmath.
¿Qué sucede para valores de x entre 0 y 1?
así, tenemos
por lo tanto,
Despejando x0 de la ecuación dada en (13), obtenemos
Así,
Imagen elaborada con Inkscape por @abdulmath.
Región I:
La solución es d=1/3.
Región II:
La solución es d=3/4.
Región III:
La solución es:
donde
Región III:
La solución no se puede calcular. Región de choque.
Imagen elaborada con Inkscape por @abdulmath.
Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido en esta 6ta Lección de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, de igual manera los invito para la 7ma Lección de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante y de mucha aplicación. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.
Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:
- Lang, Serge. Calculus of Several Variables. Springer Science & Business Media, 2012.
- Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Courier Corporation, 2012.
- Dennemeyer, Rene. Introduction to Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. 1968.
- Pinchover, Yehuda, and Jacob Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2005.
También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, que estoy seguro serán de su interés:
Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por abdulmath usando software libre, 
, GIMP e Inkscape.
Imagen diseñada con GIMP y elaborada por @abdulmath.