El Teorema de Cauchy-Kovalevsky
En esta publicación halaremos de El Teorema de Cauchy-Kovalevsky, el cuál afirma que existe una solución del problema de valor inicial que se escribe de forma analítica. Es por ello que iniciaremos primero hablando de Series de Taylos y funciones analíticas.
Series de Taylor y Funciones Analíticas
Sea F una función de clase Cinfty, es decir, una función con derivadas continuas de todos los órdenes, la cual es una función de una variable x en un intervalo abierto A subconjunto de los números reales. Sea x0 cualquier punto del intervalo A. El desarrollo de por serie de Taylor de la función f alrededor del punto x0, es una serie de potencias de la forma
donde f(n) denota la n-ésima derivada de f. La serie de Taylor de una función f de clase Cinfty arbitraria puede no converger o si converge podría no converger a f(x). Las funciones especiales que son de clase Cinfty tal que convergen a f(x) alrededor del punto x0, se llaman funciones analíticas
Por ello formalicemos con la siguiente definición
Por otro lado, una función de una variable y diferenciable en una vecindad de un punto en el plano complejo se puede expandir en una serie de potencias alrededor de ese punto. Además, una función expandida en una serie de potencias alrededor de un punto representa una función que es analítica en una vecindad de dicho punto. Es claro que si se habla de la parte analítica de una función de una variable real, se está expresando el hecho de que la función es analítica en alguna parte de un segmento dado del eje real.
De manera especial, la siguiente definición establece que si f tiene derivadas continuas de todos los ordenes y se puede expresar como una serie de Taylor, alrededor de un punto, que converge a f, es un entorno de dicho punto entonces f es analítica en este entorno. Esto formalmente lo podemos enunciar como sigue:
Por ejemplo, algunas series de Taylor conocidas podemos mencionar:
- La serie de Taylor de la función exponencial, centrada en el origen esta dado por
la cual en cualquier curso de cálculo, se muestra que esta serie converge a la función exponencial cada valor de su dominio. Por lo tanto, la función exponencial es analítica en el origen. De hecho, es analítica en toda la recta real y podemos escribir
- Análogamente, las funciones trigonométricas seno y coseno son analíticas en toda la recta real y sus expresiones están dadas por las ecuaciones siguientes:
podemos notar que cualquier polinomio es una función analítica en R. - La función f(x)=(1-x)-1 es una función analítica para todo valor de distinto de -1 y la serie de Taylor cerca del origen converge a f(x) en el intervalo | x |<1. Su desarrollo viene dado por:
Consideremos ahora el caso en el espacio Rn.
Sea f una función de clase Cinfty definida en algún dominio, que es un subconjunto de Rn y sea x cualquier punto del dominio. La serie siguiente
se llama la serie de Taylor de f alrededor de x0, los términos
son la derivada parcial con respecto a la componente xj y un entero no negativo, respectivamente, para los valores de j = 1, 2, . . . , n. Así, tenemos que:
La sumatoria descrita en la ecuación (2) se toma sobre todas las n-uplas de los enteros no negativos
Ejemplo
Si tomamos n = 2, los primeros términos de la serie de Taylor serían
donde hemos hecho el desarrollo de solo los términos de orden menor o igual a dos y el primer término de orden 3.
Ahora podemos definir cuando una función es analítica en Rn.
Por ejemplo:
- La serie de Taylor para la función
cerca del origen es
la cual converge para todo (x,y) en R2. Así, dicha función es una función analítica en todo el plano R2 y la podemos escribir como sigue:
- La función
es una función analítica en todo R3. - La función
es una función analítica en Rn excepto en la esfera unitaria. Finalmente, todos los polinomios de n variables son funciones analíticas en Rn.
El Teorema de Cauchy-Kovalevsky
Consideremos el problema de valor inicial o problema de Cauchy que envuelve una ecuación diferencial parcial de primer orden en una incógnita u(x) y n+1 variables independientes, digamos t, x1, x2, . . . ,xn, escrita como sigue:
Supongamos que la función
es analítica en un entorno del origen de Rn y supongamos que la función F es analítica en un entorno del punto
de R2n+2. Luego, el problema de Cauchy dada en (3) tiene una solución
la cual está definida y es analítica en una vecindad del origen de Rn+1 y esta solución es única en la clase de funciones analíticas.
Método de solución de un problema de valor inicial para una ecuación diferencial parcial usando Series de Taylor
Consideremos el problema de valor inicial o problema de Cauchy para una ecuación diferencial parcial de primer orden en una incógnita u y dos variables independientes t y x,
La función F(t, x, u ,ux) es una función de 4 variables definidas en algún dominio en R4. La función
está definida en algún intervalo A del eje X que contiene el origen.
Necesitamos hallar una solución u(t,x) del problema de Cauchy (4) definida para (t,x) en algún dominio del plano (t,x) que contenga la curva inicial r. Asumamos que la función dada
es analítica en un entorno del origen del eje X, entonces, de la condición inicial dada en (4) podemos calcular todas las derivadas parciales de u con respecto a x en el origen,
Supongamos que la función F es analítica en un entorno del punto
de R4. Entonces, el teorema de Cauchy-Kovalevsky asegura que el problema de valor inicial dado en (4) tiene una solución u(t,x) la cual está definida y es analítica en un entorno del origen del plano (t,x).
Para encontrar la serie de Taylor para u(t,x) alrededor del origen, calculamos los valores de todas las derivadas parciales de u en el origen. Sustituyendo los siguientes valores en la ecuación dada en (5), a saber,
obtenemos el valor de ut(0,0),
Ahora derivamos (4) con respecto a x y obtenemos
y luego evaluamos en el origen
donde Fj representa la derivada parcial de F con respecto a la j-ésima componente, j=1, 2, 3, 4 de manera independiente. Así, podemos calcular todas las derivadas parciales
derivando primero (4) con respecto a x y evaluando en
Por otro lado, para encontrar
derivamos la ecuación dada en (5) con respecto a t
y evaluamos en
De esta manera, si seguimos derivando con respecto a x y t, obtenemos todos los valores de todas las derivadas parciales de u en el origen.
La serie de Taylor para u(t,x) alrededor del origen es
donde la sumatoria se toma sobre todos los pares (m,n) de enteros no negativos.
El teorema de Cauchy-Kovalevsky asegura que esta serie converge para todo (t,x) en algún entorno U del origen y define la solución u(t,x) del problema de valor inicial dada por las ecuaciones descritas en (5) para el entorno U, domo sigue:
Ejemplo
Encuentre la serie de Taylor alrededor del origen de orden menor que o igual a 3 de la solución del problema de valor inicial dada por:
Tenemos entonces que
es analítica en todo el eje X, en particular en un entorno del origen. La función
es analítica en todo R4, en particular es analítica en un entorno del punto (0,0,2,3) de R4. Por el teorema de Cauchy-Kovalevsky, el problema de Cauchy dado en (5) tiene una solución analítica en una vecindad del origen del plano (t,x).
A continuación buscaremos todas las derivadas de u de orden menor que o igual a 3.
Entonces la solución de la serie de Taylor alrededor del origen es:
Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido en esta 7ma Lección de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, de igual manera los invito para la 8va Lección de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante y de mucha aplicación. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.
Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:
- Lang, Serge. Calculus of Several Variables. Springer Science & Business Media, 2012.
- Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Courier Corporation, 2012.
- Dennemeyer, Rene. Introduction to Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. 1968.
- Pinchover, Yehuda, and Jacob Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2005.
También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, que estoy seguro serán de su interés:
Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por abdulmath usando software libre, 
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