Ecuaciones Diferenciales Parciales Lineales de Segundo Orden
A partir de ahora trataremos de explicar y mostrar claramente la definición de una ecuación diferencial parcial de segundo orden lineal. Primero empezaremos mostrando el uso de una notación que será muy conveniente para escribir la forma general de la ecuación diferencial parcial y definiremos la superficie características de tal ecuación. Posteriormente describiremos lo que es una superficie característica del algunas ecuaciones importantes de la física matemática. Es importante acotar, que en las próximas lecciones abordaremos otros puntos importantes, de los cuales no describiremos por ahora, pero que sin lugar a dudas, son de mucho interés, para todos los interesados en aprender más sobre este tema tan fascinante como lo son las Ecuaciones Diferenciales Parciales Lineales de Segundo Orden.
Operadores Diferenciales Parciales Lineales
Antes de empezar, recordemos la notación que ya conocemos. Sea x un punto en el espacio Rn y sea Dj el operador diferencial parcial siguiente:
así, dado
que denota una n-upla de enteros no negativos. Entonces definimos
luego,
denota la suma de las componentes de alpha, es decir,
Entonces
es un monomio de orden el cardinal de alpha en las coordenadas x1,x2,. . . xn y
es el operador diferencial parcial de orden el cardinal de alpha. En la notación clásica
Por ejemplos, si n = 3 y
entonces
y
es un monomio de orden 6, y
Una ecuación diferencial parcial lineal de orden m en Rn es una ecuación de la forma
donde
donde aalpha y f son funciones definidas en Rn,
el operador diferencial parcial lineal de el lado izquierdo de la ecuación (1) la podemos denotar por P(x,D), es decir,
Si el coeficiente
es constante, entonces podemos escribir P(D) en el lugar de P(x,D).
Ejemplos
A continuación mostraremos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden.
En R2, la ecuación siguiente
es una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden. Los coeficientes son:
y
el operador de la ecuación (3) es
El operador general de la ecuación diferencial parcial lineal de primer orden en Rn es:
Por supuesto, podemos elegir usar una notación más simple. Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial lineal de primer orden en R2 es
El operador general de la ecuación diferencial parcial de segundo orden en R2 es de la forma:
Algunos ejemplos importantes con coeficientes constantes son el operador Laplaciano en dos variables
el operador de onda en una variable espacial
el operador del calor en una variable espacial
los operadores dadas en (7) y (8) están definidas en una variable espacial x1 y una variable temporal o del tiempo x2. Otro ejemplo es el operador Tricomi que aparece en hidrodinámica,
El operador general de la ecuación diferencial parcial de segundo orden en R3 es de la forma:
Los casos especialmente importantes con coeficientes constantes son el operador Laplaciano en tres variables espaciales
el operador de onda en dos variables espaciales
el operador del calor en dos variables espaciales
En R2, el operador biharmonico
es un operador diferencial parcial lineal de cuarto orden el cual aparece en el estudio de elasticidades.
Una de las mas grandes conclusiones de la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales esta en que las propiedades de las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales lineales dependen solamente de la forma de el termino de mayor orden que aparece en la ecuación. Estos términos se conocen como la parte principal de la ecuación. La parte principal del operador diferencial parcial lineal general de la ecuación dado en (2) es
La parte principal del operador diferencial parcial dado en (4) es
y la parte principal de la ecuación dada en (5) es
La parte principal de los operadores Laplaciano y de onda son iguales a estos operadores mismo, mientras que la parte principal de el operador de calor dada en la ecuación (8) es
Un vector no nulo de Rn, digamos
define una dirección (sin signo) en Rn. Notemos que para cualquier número real λ distinto de cero, el vector ξ ay λξ definen la misma dirección. Una dirección definida por un vector no nulo en Rn es llamada una características en el punto x de Rn con respecto al operador diferencial parcial P(x,D) dado por la ecuación mostrada en (2), si
donde Pm(x,D) esta dada por la ecuación mostrada en (14) es la parte principal de P(x,D). A la ecuación dada en (17) es llamada la ecuación característica de P(x,D) y el lado izquierda de esta ecuación se obtiene a partir de la ecuación dada por (14), reemplazando D = (D1,D2,. . .,Dn) por
obteniendo
Por ejemplo, la ecuación característica de el operador dado por la ecuación (4) es
así, la dirección
es una característica en el punto
con respecto a este operador. La ecuación característica de el operador de onda dado en la ecuación (11) es
y la dirección
es característica en cualquier punto de R3. Generalmente si los coeficientes de la parte principal de el operador son constantes entonces obviamente las direcciones características son todas independientes de el punto en Rn.
Sea S una curva suave en Rn y sea x0 un punto de S. La superficie S es llamada la superficie característica en x0 con respecto a P(x,D) si el vector normal a S en x0 define una dirección la cual es caracteristica con respecto a P(x,D) en x0. Si la superficie S es caracteristica con respecto a P(x,D) en cualquier punto entonces S es llamada la superficie caracteristica. Naturalmente en R2 una superficie caracteristicas es llamada una curva caracteristica.
El operador diferencial parcial que hemos estudiado hasta el momento y el cual aparece en muchas aplicaciones, o bien no tiene ninguna superficie caracteristica o en cambio tiene una familia uni-paramétrica de superficies la cual es caracteristica. Estas superficies caracteristicas juegan un rol fundamental en el estudio de los operadores diferenciales parciales.
Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido en esta 8va Lección de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, de igual manera los invito para la 9na Lección de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante y de mucha aplicación. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.
Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:
- Lang, Serge. Calculus of Several Variables. Springer Science & Business Media, 2012.
- Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Courier Corporation, 2012.
- Dennemeyer, Rene. Introduction to Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. 1968.
- Pinchover, Yehuda, and Jacob Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2005.
También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, que estoy seguro serán de su interés:
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