Todo el tema de las Ecuaciones Diferenciales Parciales es de mucho interés en diversos campos o áreas, como lo son: la física, la química, la biología y otras ciencias, así como no podemos dejar de mencionar en el área de la ingeniería en todas sus ramas y carreras afines. En la gama de problemas que se modelan con Ecuaciones Diferenciales Parciales, podemos mencionar algunos como: la propagación del calor, la propagación del sonido, la dinámica de fluidos, entre otros. La misma está dirigida al público en general (aunque debemos acotar, este es un tema de un nivel más alto, para el que es necesario tener de algunos conocimientos previos de análisis real, ecuaciones diferenciales ordinarias, geometría diferencial, cálculo avanzado, entre otros más), con atención especial a profesionales y estudiantes universitarios en ciencias, ingeniería y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.
Ecuaciones Diferenciales Parciales Lineales de Segundo Orden
En esta publicación, mostraremos y describiremos los métodos para hallar curvas y superficies características, mostrando algunos ejemplos de algunas ecuaciones importantes de la física matemática. En las próximas lecciones desarrollaremos otros aspectos de que son de mucho interés para todos los interesados en aprender más sobre este tema tan fascinante como lo son las Ecuaciones Diferenciales Parciales Lineales de Segundo Orden.
Métodos para Encontrar Curvas y Superficies Características
Lo primero que debemos hacer para intentar hallar curvas o superficies características de un operador diferencial parcial lineal es escribir su ecuación característica (para recordar ver la Lección #8). Si los coeficientes de la parte principal de el operador son constantes, entonces la ecuación característica es un polinomio homogéneo en ξ1, . . .,ξn con coeficientes constantes. Puede ser posible que podamos reconocer las direcciones características y determinar la superficie característica por simple razonamiento geométrico, pero en general no es así. A continuación mostraremos unos ejemplos donde ilustraremos este método.
Ejemplos
En R2, sea
Aquí, el orden es m = 1 y la parte principal es
Así, la ecuación características es
en la dirección (0,1) es la única dirección característica en cualquier punto de R2. La curva característica es una linea x2 = constante.En R2 consideramos el operador Laplaciano
La ecuación característica es
la cual se satisface solamente para (ξ1,ξ2)=(0,0). Por lo tanto, todas las direcciones no son características, y el operador de Laplace no tiene curvas características.En R2 consideramos el operador del Calor
La parte principal es
y la ecuación característica es
Al igual que en el primer ejemplo, la curva característica es una linea x2 = constante.En R2 consideramos el operador de Onda dado por
La ecuación característica es
la cual se satisface si ξ2 = ± ξ1. Las curvas caracterizaras son líneas rectas que forman un angulo de 45 grados con los ejes, es decir, las líneas x2 = x1 + c1 y x2 = -x1 + c2 lo cual podemos apreciar en la figura anexa. Notemos que en cualquier punto (x10,x20) pasan exactamente dos curvas características.
Imagen elaborada con Inkscape, por @abdulmath.La ecuación
donde a, b y c son constantes, es llamada la ecuación del telégrafo. Aquí usaremos (x,t) en lugar de (x1,x2). La parte principal de el operador diferencial parcial envuelto en la ecuación es
La ecuación característica es
la cual se satisface para los vectores
Las curvas características son las líneas x + ct = c1 y x - ct = c2. Por lo tanto, en cada punto del plano (x,t) pasan exactamente dos curvas características.
Ahora bien, si los coeficientes de la ecuación característica no son constantes entonces es necesario usar métodos analíticos para determinar las características. Por ejemplo, en R2 si deseamos expresar la curva característica de forma paramétrica, entonces la ecuación característica conduce a una ecuación diferencial ordinaria la cual podemos resolver en el campo de las ecuaciones características. Este método lo ilustraremos con los siguientes ejemplos.
Ejemplos
En R2, sea
El orden m = 1, la parte principal es
y la ecuación características es
Sea r una curva característica dada paramétricamente por
La tangente a esta curva esta dado por
y por lo tanto
es normal a la curva r. Por lo tanto,
Así, la curva característica se puede obtener resolviendo la ecuación diferencial
Por ejemplo, la curva característica de D1+D2 son solución de la ecuación
la cual es la línea x2 = x1 + c. La curva característica de D1 + x1D2 son solución de
la cual son las parábolas
La cual podemos ver en la figura anexa.
Imagen elaborada con Inkscape, por @abdulmath.En R2, sea el operador
es llamado el operador de Tricomi, y este aparece en la hidrodinámica. La ecuación característica es
así, en el plano superior x2>0 esta no tiene direcciones características y por lo tanto no tiene curvas características. Para x2 menor que cero, las direcciones características en cada punto (x1,x2) están dadas por los vectores
luego, como en el ejemplo anterior, podemos concluir que las curvas características son soluciones de la ecuación
Las soluciones de esta ecuación son
Entonces, las curvas características son dos familias uniparamétricas de curvas que ilustraremos en la figura siguiente.
Imagen elaborada con Inkscape, por @abdulmath.
Ahora, veamos algunos ejemplos en mayores dimensiones.
- En Rn consideremos el operador de Laplace dado por
La ecuación característica esta dada por
la única solución de esta esta dada por
Por lo tanto, esta no tiene direcciones características y no tiene superficies características. - Consideremos el operador del calor en Rn+1 dado por la ecuación siguiente
La parte principal es
La ecuación característica es
La única dirección características es (ξ1, . . . ,ξn,ξt) = (0, . . . ,0,1) y la superficie característica es el plano t = constante. - En Rn+1 consideremos el operador de onda dado por la ecuación
La ecuación característica es
Si buscamos los vectores unitarios que satisfagan esta ecuación, es decir, si necesitamos que
entonces debemos tener
ya que las componentes de el vector unitario son los cosenos de los ángulos que que el vector forma con el correspondiente eje de coordenadas, por lo tanto la dirección característica forma un angulo de 45 grados con el eje t. Cualquier superficie n dimensional con la normal en cada uno de sus puntos forman un angulo de 45 grados con el eje t es caracateristica. Por ejemplo el plano t + x1 = 0 es caracteriticas. La superficie conica doble
es una superficie caracteristica que juega un rol importante en el estudio de este operador. Este es llamado el cono caracteristico. La figura siguiente muestra un cono caracteristico en el espacio tri-dimensional. Notemos que cualquier punto (x10,x20,t0) es el ápendice de un cono caracteristico.
Imagen elaborada con Inkscape, por @abdulmath.
En general, encontrar superficies caracteristicas en tres o más dimensiones tiene una dificultad muy grande.
La Importancia de las Características
Vamos a resaltar ahora la importancia de las características, mediante la discusión de un operador parcial sencillo, el cual mostraremos a continuación
en todo el plano (x,y). Como ya hemos visto, el vector (0,1) es la única dirección característica y la característica o superficie característica es la línea y = constante.
Primero mostraremos que la característica son excepcionales para el problema de Cauchy. El problema de Cauchy para la ecuación diferencial parcial de 1er orden en dos variables independientes nos pregunta por la solución u de la ecuación en un dominio que contiene a una curva r la cuál esta bien definida. La curva r es llamada la curva inicial de el problema y le asigna el valor de u en r y es llamada el valor inicial. Supongamos primero que la curva inicial r es ahora aquí la características con respecto a Dx. Entonces el vector normal de r en cualquiera de sus puntos tiene una componente no nula en la dirección x y por lo tanto r esta dada por la ecuación de la forma (para ilustrar mejor, podemos ver la figura siguiente.)
Imagen elaborada con Inkscape, por @abdulmath.
Consideremos ahora el problema de valor inicial
donde f(y) es una función dada. La ecuación diferencial dada el (1) implica que a los largo de la línea y = constante, la función u(x,t) es constante, independiente de x. Por lo tanto
y la condición inicial dada en (1) la podemos ver como
es la única solución del problema (1). Supongamos ahora que la curva inicial r es una curva característica, digamos la línea y = 0, y consideremos el problema de Cauchy
donde f es una función dada. Si la función f no es idénticamente constante, entonces no puede haber ninguna solución del problema dada en (2) ya que la ecuación diferencial dada en (2) contradice la condición inicial en la línea inicial y = 0. Por otra parte, si f(x)=C, cualquier función g(y) satisface la condición g(0)=C, la función
es solución del problema dado en (2). Así, cuando la curva inicial r es característica, o bien no hay solución al problema de Cauchy o este tiene infinitas soluciones, es decir, no hay existencia de soluciones únicas.
Otro aspecto importante de las características es que a lo largo de una características, la solución de la ecuación diferencial parcial o sus derivadas pueden admitir discontinuidades. Esto lo podemos ilustrar con el operador D1. Si f es una función de una variable, entonces u(x,y)=f(y) es una solución de la ecuación diferencial Dxu=0. Si f'(y) tiene un salto de discontinuidad en el punto y0 entonces
tiene un salto de discontinuidad a lo largo de la característica y = y0.
El siguiente aspecto juega un rol fundamental para resolver una ecuación diferencial parcial de primer orden. Por ejemplo, una solución de la ecuación
esta dada por
donde la integral es un línea integral a lo largo de la curva caracteristica y = constante. Notemos que a lo largo de la curva caracteristica y = constante, la ecuación diferencia parcial dada en (3) es en realidad una ecuación diferencial ordinaria. Este hecho, es generalmente cierto para todas las ecuaciones diferenciales parciales de 1er orden, y lo podemos usar para resolver el problema de valor inicialpara estas ecuaciones resolviendo el problema de valor inicial de la ecuación diferencial ordinaria.
Finalmente, mencionaremos que las caracteristicas se pueden usar para introducir nuevas coordenadas en terminos de cual ecuación diferencial tiene una forma simple en particular, la cual es llama la forma canonica de la ecuación.
Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido en esta 9na Lección de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, de igual manera los invito para la 10ma Lección de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante y de mucha aplicación. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.
Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:
- Lang, Serge. Calculus of Several Variables. Springer Science & Business Media, 2012.
- Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Courier Corporation, 2012.
- Dennemeyer, Rene. Introduction to Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. 1968.
- Pinchover, Yehuda, and Jacob Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2005.
También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, que estoy seguro serán de su interés:
Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por abdulmath usando software libre, 
, GIMP e Inkscape.
Imagen diseñada con GIMP y elaborada por @abdulmath.