Todo el tema de las Ecuaciones Diferenciales Parciales es de mucho interés en diversos campos o áreas, como lo son: la física, la química, la biología y otras ciencias, así como no podemos dejar de mencionar en el área de la ingeniería en todas sus ramas y carreras afines. En la gama de problemas que se modelan con Ecuaciones Diferenciales Parciales, podemos mencionar algunos como: la propagación del calor, la propagación del sonido, la dinámica de fluidos, entre otros. La misma está dirigida al público en general (aunque debemos acotar, este es un tema de un nivel más alto, para el que es necesario tener de algunos conocimientos previos de análisis real, ecuaciones diferenciales ordinarias, geometría diferencial, cálculo avanzado, entre otros más), con atención especial a profesionales y estudiantes universitarios en ciencias, ingeniería y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.
El Problema del Valor Inicial para Ecuaciones Lineales de 1er Orden en dos Variables Independientes.
Consideremos el problema de valor inicial o problema de Cauchy para una ecuación general lineal de 1er orden en dos variables independientes. Ya que una ecuación lineal es un caso especial de una ecuación cuasi lineal, todos los resultados concernientes a la existencia y unicidad de soluciones se pueden obtener como casos espaciales de los resultados correspondientes probados en las lecciones previas (ver Lección #5). Así, alcanzamos las mismas conclusiones de aquellos obtenidos para los ejemplos discutidos en la Lección #9, donde mostramos que si la curva inicial no es característica, entonces no existe una solución única. Si la curva inicial es característica, normalmente está no tiene solución y un caso especial en el cuál hay una solución existen infinitas soluciones.
Problema de Valor Inicial
Sea la curva inicial r dada paramétricamente por las ecuaciones dadas a continuación
donde x0(t), y0(t) son funciones de clase C1 sobre el intervalo I, y sea la condición inicial dada por la función
la cual también es de clase C1 sobre el intervalo I. Encontremos una función u(x,y) definada en un dominio que es un subconjunto Ω de R2 que contiene a r tal que
- u=u(x,y) satisface en Ω la ecuación diferencial parcial dada por la ecuación siguiente
- en la curva r, u es igual a la función dada, es decir,
para todo t en I.
En lo que respecta a la ecuación diferencial parcial dada en (2) asumimos que en toda esta publicación que los coeficientes del lado derecho de la ecuación son funciones de clase C1 sobre Ω y que los coeficientes de la parte principal de la ecuación dada en (2) son no vacíos simultaneamente en cualquier punto de Ω; es decir,
El siguiente teorema trata acerca de la existencia y unicidad de la solución.
Si t0 es un valor de la curva inicial de parámetro t en el punto (x0,y0), entonces el vector
es normal a r en el punto (x0,y0), y la condición que r no es característica en (x0,y0) significa que ξ0 no satisface la ecuación característica dada por (2) en (x0,y0), es decir,
Esto lo podemos ilustrar en la siguiente figura.
Imagen elaborada con Inkscape, por @abdulmath.
Brevemente, el teorema 1 afirma la existencia y unicidad de la solución del problema de valor inicial dada por las ecuaciones (2) y (3) en un entorno de cualquier punto sobre la curva r la cual no es característica con respecto a la ecuación.
Las diferencias entre el caso lineal y el cuasi-lineal debe ser observado con mucho cuidado. Para el caso cuasi-lineal la condición dada por la ecuación (4) del Teorema 1 visto en la Lección #5 involucra no solamente la ecuación diferencial y la curva inicial sino que también involucra el valor inicial. En el casi lineal, la condición básica dada por la ecuación (4) involucra la ecuación y la curva inicial solamente y no involucra el valor inicial.
Debemos notar que la palabra característica puede ser usada en el caso cuasi-lineal y no lineal así como en el caso lineal. Así, la condición básica dada por la ecuación (4) del Teorema 1 visto en la Lección #5 puede ser expresada como la curva inicial r que no es característica en (x0,y0) con respecto a la ecuación diferencial y la condición inicial dada. Sin embargo, nosotros usaremos esta palabra solamente para el caso lineal.
El siguiente problema de valor inicial espacial surge frecuentemente en aplicaciones, a saber:
Notemos que la curva inicial de este problema esta en el eje x. Ya que, el vector (0,1) es normal al eje x y que
el eje x no es característica con respecto a la ecuación dada en (6). Así del Teorema 1 tenemos el siguiente Corolario.
Ejemplo
Resuelva el problema de valor inicial dado por
De acuerdo con el Corolario 1 existe una única solución del problema de valor inicial en un entorno de cualquier punto del eje x. Aquí podremos encontrar una solución global válida en todo el plano (x,y). El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias asociadas con la ecuación dada en (7) es
La primera igualdad es una ecuación diferencial ordinaria, y la solución general de esta es la siguiente
En la segunda igualdad dada en (8) eliminamos la variable x usando la ecuación dada en (9) y obtenemos la ecuación diferencial ordinaria
la solución general de esta es
eliminando c1 usando (9) obtenemos
Por lo tanto, las dos integrales primeras son funcionalmente independientes, estas son
Ya que v no depende de u, la integral general de la ecuación diferencial parcial dada en (7) esta dada por w = F(v), es decir,
donde F es una función arbitraria de clase C1 en una variable. La condición inicial dada en (7) determina a F. En efecto, sustituyendo y = 0 y u = x2 en (11) obtenemos
Por lo tanto,
y resolviendo para u encontramos la solución para el problema de Cauchy dado en (7),
Consideremos el siguiente caso en el cual la curva inicial r, esta dada por la ecuación (1) es característica con respecto a la ecuación diferencial parcial dada por la ecuación (2) en el punto (x0, y0) = (x0(t0), y0(t0)). Entonces el vector normal
debe satisfacer la ecuación característica de la ecuación dada en (2) en (x0, y0), es decir,
ó
El siguientes resultado de no existencia, es un caso especial.
Finalmente, consideremos el caso en el cual la curva inicial es una curva característica con respecto a la ecuación (2). Entonces si el valor inicial satisface una cierta condición, tenemos el siguiente resultado de no unicidad.
El Problema de Cauchy General
Considere la ecuación diferencial parcial lineal de orden m, dada por
donde el coeficiente aalpha y f son funciones de x=(x1,x2, . . . ,xn) en Rn. Sea s una curva suave en Rn y sea n = n(x) el vector normal unitario de s en x. Supongamos que en s los valores de u y de todas las derivadas direccionales en la dirección de n son de orden a los sumo m-1, son dadas, es decir,
donde ф0,ф1, . . . ,фm-1 son funciones dadas definidas en s. Encontrar la solucion u de la ecuación dada en (20) definida en un dominio Ω que contiene a s y satisface las condiciones dadad en (21) en s.
La superficie s es llamada la superficie inicial de el problema y las condiciones dadad en (21) son llamadas las condiciones iniciales. Las funciones dadas ф0,ф1, . . . ,фm-1 las cuales estan definidas en s son llamados los valores iniciales.
El Teorema de Cauchy-Kovalevsky
El teorema de Cauchy-Kovalevsky el cual enunciaremos a continuación requiere que todas las funciones que aparecen en las hipótesis de el problema así como en el superficie inicial s deben ser analíticas. La superficie s en Rn son llamadas analíticas si las superficies de nivel son funciones analíticas, es decir, si están descritas por una ecuación de la forma
donde F es una función analítica con gradiente no vacío.
El teorema hace dos afirmaciones importantes de mencionar:
- Existe una solución analítica en algún entorno de x0, y
- La solución es única en la clase de funciones analíticas.
En un lenguaje más preciso, la afirmación de existencia establece que existe una función u la cual esta definida y es analítica en un entorno U de x0 y es tal que en cada punto x de U satisface la ecuación diferencial parcial (20) y cualquier punto x de la parte de s contenida en U, u satisface la condición inicial (21). La afirmación de unicidad todavía permite la posibildada que haya más de una solución de el problema de Cauchy la cual no es necesariamente analítica están permitidas. Por ejemplo, pueden existir dos o más soluciones distintas en la clase de funciones Cm en un entorno de x0. Esto es probado por Holmgren que esto no puede suceder, y que de hecho dos soluciones de clase Cm de el problema de Cauchy deben coincidir necesariamente en un entorno de x0.
Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido en esta 10ma Lección de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, de igual manera los invito para la 11va Lección de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante y de mucha aplicación. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.
Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:
- Lang, Serge. Calculus of Several Variables. Springer Science & Business Media, 2012.
- Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Courier Corporation, 2012.
- Dennemeyer, Rene. Introduction to Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. 1968.
- Pinchover, Yehuda, and Jacob Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2005.
También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, que estoy seguro serán de su interés:
Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath usando software libre, 
, GIMP e Inkscape.
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Imagen diseñada con GIMP y elaborada por @abdulmath.